Том 12. Числа - основа гармонии. Музыка и математика

Том 12. Числа - основа гармонии. Музыка и математика

Авторы:

Жанр: Математика

Цикл: Мир математики №12

Формат: Полный

Всего в книге 38 страниц. Год издания книги - 2014.

В мире существует несколько основных видов искусства, но музыка, безусловно, занимает в этом ряду главенствующую позицию. Неспроста многие великие мыслители отдавали пальму первенства именно музыке: она — удивительный симбиоз чистого вдохновения и строгого расчета, полета фантазии и рационального подхода. Музыка — живое доказательство единства творчества и математики. Из этой книги читатель почерпнет множество интересных фактов. Какие произведения нельзя сыграть, не разгадав их загадку? Почему существуют гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии на слух отличить скрипку от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса?

Как сформировалась современная музыкальная нотация и каким правилам она подчиняется? При ответе на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики.

Читать онлайн Том 12. Числа - основа гармонии. Музыка и математика


Предисловие

Музыка — скрытая работа ума, не сознающего, что он занят исчислениями.

Готфрид Вильгельм Лейбниц


Мировая музыкальная панорама начала XXI века фантастически разнообразна. Математика, электроника, биты и байты ведут музыку вперед, к новым рубежам. Была ли музыка менее разнообразной в начале XX века? А в X веке? А за 1000 лет до Рождества Христова? Изучались ли звуки с математической точки зрения в античном мире? Отразились ли новые технологии XIX века на музыке?

Музыка — одно из главных проявлений культуры человечества, охватывающее все страны и все эпохи. Она волнует и дарит наслаждение. Математика используется при анализе музыки и описывает множество ее аспектов: отношения между звуками в аккорде, резонанс, секреты партитуры и даже музыкальные игры. Умеющие наслаждаться математикой помимо тех эмоций, которые дарит музыка, получают удовольствие и от ее математической составляющей.

В этой книге мы расскажем о методе написания музыки, который придумал Моцарт, — с помощью игральных костей. Вы узнаете о произведениях, которые нельзя сыграть, не разгадав их загадку. Случайные события, фракталы и золотое сечение также скрываются на нотном стане. Почему существуют гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии отличить скрипку от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса? Какой вклад внесла технология в музыку? Как сформировалась современная музыкальная нотация и каким правилам она подчиняется?

Хотя в ответах на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики, важно отметить, что музыка не зависит от науки. Разумеется, наука предлагает множество инструментов для создания музыки, и о них мы также подробно расскажем в этой книге. С помощью математики или без нее, создание музыки невозможно без вдохновения и труда композитора. Именно в этом заключается ценность, которую математика привносит в изучение музыки: она дает возможность понять и восхититься произведением искусства «из-за кулис», позволяет по-новому взглянуть на то, что казалось давно известным.

Глава 1

Игра на одной струне

Музыка стоит на втором месте после молчания, когда речь идет о том, чтобы выразить невыразимое.

Олдос Хаксли


Музыка эфемерна и существует только в нашей памяти. Она непостижима и неуловима. Именно поэтому музыка обладает магической аурой, благодаря которой люди испокон веков использовали ее в своих ритуалах. Музыка стала способом постичь божественное, доступным лишь избранным. Археологические открытия свидетельствуют, что музыкальные инструменты существовали еще в доисторические времена. Уже тогда были изобретены разнообразные ударные (например, бубен), а также примитивные трубы и флейты. Это доказывает, что первые мелодии были придуманы еще в древности.


Древняя Греция

Слово «музыка» происходит от греческого musike; в буквальном переводе это означает «искусство муз». В греческой мифологии музы были богинями — покровительницами искусств, танцев, астрономии и поэзии.

Ученики пифагорейской школы, которая сформировалась в VI веке до н. э., пытаясь постичь гармонию Вселенной, считали числа и отношения между ними отражением этой гармонии. Пифагорейцы создали настолько подробные астрономические и музыкальные математические модели, что невозможно не понять: музыку и математику они изучали неразрывно друг от друга. Пифагорейцы считали, что движение планет порождает незаметные для человека гармонические колебания, так называемую музыку сфер.

Во всех античных цивилизациях теоретические знания отделялись от декоративно-прикладного искусства. Семь свободных искусств делились на две большие группы: первая, тривиум (от лат. tri — три и vium — дорога), состояла из грамматики, диалектики и риторики; вторая, квадривиум (от quadri — четыре), включала арифметику, геометрию, астрономию и музыку. Считалось, что человек, изучивший эти семь дисциплин, «семь свободных искусств», живет в гармонии со Вселенной.


Музыкальная система Пифагора

Последователи пифагорейской школы изучали музыку на основе звуков, издаваемых единственной струной музыкального инструмента, называемого монохордом. Длина струны монохорда изменялась подобно тому, как гитарист зажимает струны при игре на современной гитаре. При изменении длины изменялась звучащая нота: чем короче струна, тем выше нота. Пифагорейцы попарно сравнивали звуки, соответствующие различным длинам струны. В своих экспериментах они описывали соотношения длин сторон, выражаемые небольшими числами: они делили струну пополам, в соотношении один к двум, два к одному и так далее.

Результаты оказались удивительными: звуки, издаваемые при колебаниях струн, длины которых выражались небольшими числами, оказывались самыми приятными, то есть самыми гармоничными. На основе этих наблюдений пифагорейцы создали математическую модель физического явления, в которой при этом учитывалась и эстетическая составляющая. Нечто подобное произошло позднее, в эпоху Возрождения, когда понятие красоты стали связывать с золотым сечением.

Простейшее соотношение образуется, если зажать струну ровно посередине. Это отношение в численном виде записывается как 2:1 и соответствует интервалу в одну октаву (например, от ноты


С этой книгой читают
Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга

Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.


Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.


Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.


Истина и красота: Всемирная история симметрии
Автор: Йэн Стюарт

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.


Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Цель книги доктора философских наук Б. В. Бирюкова и кандидата философских наук В. Н. Тростникова - создать общую картину подготовки и развития логико-математических аспектов кибернетики. Авторы рассказывают о длительном развитии науки логики, возникшей еще в Древней Греции, прослеживают непрерывающуюся нить преемственности, тянущуюся от Аристотеля к "чуду XX века" - быстродействующим кибернетическим устройствам.


Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.


Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.


Урожаи и посевы

Первый перевод с французского книги «Recoltes et Semailles» выдающегося математика современности Александра Гротендика. Автор пытается проанализировать природу математического открытия, отношения учителя и учеников, роль математики в жизни и обществе. Текст книги является философски глубоким и нетривиальным и носит характер воспоминаний и размышлений. Книга будет интересна широкому кругу читателей — математикам, физикам, философам и всем интересующимся историческими, методическими и нравственными вопросами, связанными с процессом математического открытия и возникновения новых теорий.


Ценарт

Случайное рождение, блестящий расцвет и естественное увядание уникального направления актуального искусства — ценарта.


Армейские истории

В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.


Разрушение
Автор: Отем Грей

«В тот момент, когда я поддался и проявил интерес к Селене, я знал, что у меня будут проблемы. Так случается всегда. Мне следовало сопротивляться». Ремингтон Сен-Жермен на распутье. Он может либо последовать за человеком, из-за которого чувствует себя нужным — единственным человеком, который способен усмирить демонов, терзающих его разум — либо забыть о ней. Последнее не выход, хотя и существует шанс, что она может отвергнуть его. Но, к черту все, он убедит ее. Он должен. Иначе окажется там же, где был перед тем, как она появилась в его жизни. Селена Майклз в Париже временно.


Праздник живота

Этот рассказ о девушке которая хотела много денег, и которая ради них была готова почти на все. Эта история не много о сексе и много о еде. Не много о красоте и много об уродстве. Это история некоторым понравится, а многим возможно нет. Почему? Прочитайте, это все что я могу сказать.