Мир чисел бесконечен и неисчерпаем. Но чем дальше мы углубляемся в него, тем сложнее его понять. Если мы хотим познать его, нам не остается ничего другого, кроме как напрячь извилины. Так появилась и сформировалась теория чисел — сегодня это большая и прочная ветвь пышного дерева математики.
Теория чисел изучает дружественные числа, простые числа, избыточные числа, трансцендентные числа, рациональные числа, случайные числа, вычислимые числа, нормальные числа, вещественные числа, гиперреальные числа, трансфинитные числа, фигурные числа, комплексные числа, псевдопростые числа, неприкосновенные числа, апокалиптические числа и так далее. По правде говоря, за словами «и так далее» кроется немало других чисел.
Но чем вызвано увлечение числами? Почему многие люди с предубеждением относятся к числу 13? Число 666 упоминается в «Откровении Иоанна Богослова» и называется «числом зверя». Почему это число получило такое имя? Кому-нибудь интересно, что треугольник со сторонами 2166969314861378833054797972928630716401520276869946534608169199233884599269 и 2166969314861378833054797972928630716401520276869946534608169199233884599269 обязательно является прямоугольным? Знаете ли вы, что серьезные исследователи посвящают свое время изучению так называемых «самовлюбленных» чисел? Очевидно, что в мире, где существуют числа-палиндромы и дружественные числа, возможны любые, даже самые абсурдные вещи.
Существуют числа на любой вкус, каждое имеет свое определение, и в этом смысле число π не исключение: оно принадлежит к трансцендентным числам и, как считается, к множеству нормальных чисел и нескольким другим. Кроме того, это число — самое изучаемое и самое поразительное в истории. О нем написано столько книг, что сказать что-то новое практически невозможно. Поэтому автор ограничится лишь подробным и увлекательным рассказом о той мании, что окружает число π. Он попытался сделать повествование кратким и понятным любому заинтересованному читателю.
К сожалению, как говорил еще Евклид царю Птолемею I, «к геометрии нет царской дороги», и изучение чисел требует определенных умственных усилий. Оставим надежды на то, что книги о математике могут быть простыми. Книги о математике нельзя прочесть в один присест, но из-за этого столь велико удовольствие, получаемое от чтения. Однако книга о математике совершенно не обязана быть скучной.
Итак, сколько же усилий придется приложить? Почему ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам нужно знать первый миллиард знаков π? Это число содержит бесконечно много цифр, и рассчитать их непросто. Возможно, простой метод расчета не существует или находится за гранью нашего понимания. Существует ли предел знаниям о числе π и его знаках? В чистой математике время от времени возникают вопросы о полезности подобных знаний. Возможно, лучшим ответом будет тот, что предложил выдающийся немецкий математик Карл Густав Якоби, который в 1830 году, защищая необходимость обучения математике, сказал: «Единственной целью науки является честь человеческого разума». Погрузимся же в чтение этой книги, вдохновленные этой мыслью. Мы не говорим о том, что нужно познать всё, познать многое или извлечь пользу из наших знаний. Речь идет о том, чтобы узнать некоторые интересные и занимательные факты о числах просто потому, что они красивы. Ради чести человеческого разума.
Глава 1
Все, что вы хотели узнать о числе π, но боялись спросить
Совместны у круга начало и конец.
Гераклит
Число π — самое известное, самое изученное, самое знаменитое и самое упоминаемое. Важность числа π невозможно преувеличить. Его десятичная запись начинается так:
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…
и этих пятидесяти магических цифр достаточно для любых практических вычислений. В математике или физике редко встретится задача, для которой необходимо использовать более десяти знаков π. Для простейших вычислений используются приближенные значения: 3,14 или 3,1416.
Айзек Азимов как-то написал: «Если бы Вселенная имела форму сферы диаметром 80 миллиардов световых лет, то с помощью 35 знаков числа π мы смогли бы вычислить длину ее небесного экватора с погрешностью меньше одной миллионной доли сантиметра».
Если мы запишем число π, рассчитанное на компьютере на данный момент, цифрами размером с эту книгу, то получившийся ряд цифр опишет 500 витков вокруг экватора Земли. Точно известно, что последовательность 0123456789 встречается в числе π начиная с 17387594880-го знака. Какой же наивной кажется убежденность известного голландского математика Лёйтзена Эгберта Яна Брауэра (1881–1966), который считал, что искать эту последовательность в числе π бессмысленно, поскольку необходимое для этого число знаков никогда не будет вычислено.
В XXI веке мы наконец нашли неоспоримую пользу от вычисления числа π с такой точностью: для тестирования суперкомпьютеров используются сложные вычисления, результат которых должен быть заранее известен, и для этого идеально подходит расчет знаков числа Я.
Повторное изобретение колеса
Число π не появилось из пустоты, как это можно было бы предположить. Оно возникло как результат несложных наблюдений. Соотношение между длиной окружности
