Теорема Гёделя о неполноте
Теорема о неполноте и доказательство, утверждает примерно следующее: при определенных условиях в любом языке существуют истинные, но недоказуемые утверждения.
Первая теорема Гёделя о неполноте
Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), существует такая замкнутая формула F, что ни F, ни -,F не являются выводимыми в этой теории.
Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Например, такое утверждение можно добавить к системе аксиом, оставив её непротиворечивой.
Теорема была доказана Куртом Гёделем в 1931-ом году.
Вторая теорема Гёделя о неполноте
Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), формула F, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.
Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т. д.
Использовать эту теорему для доказательства того, что разумная деятельность не сводится к вычислениям, пытались многие. Например, еще в 1961 году известный логик Джон Лукас (John Lucas) выступал с подобной программой. Его рассуждения оказались довольно уязвимыми - однако он и задачу ставил более широко. Роджер Пенроуз использует несколько другой подход, который излагается в книге полностью, "с нуля.
Работы Роджера Пенроуза, Теорема Гёделя о неполноте
Пределы доказуемости
К проблеме вычислимости функции сознания
Работы Роджера Пенроуза
Дополнительно рекомендуются:
КМ и психика или еще раз о Пенроузе Муравьев И.П.
К проблеме 'вычислимости' функции сознания Е.М.Иванов
Физическая личность
В Англии принято присваивать выдающимся соотечественникам дворянское звание Рыцарь (Knight) и титул Сэр (Sir). В том, что недавно Рыцарем стал крупнейший математик и физик-теоретик Роджер Пенроуз, есть точная символика: вот уже более десяти лет он бесстрашно, открыто и честно атакует одну из величайших тайн природы - тайну разума.
Утверждая, что смоделировать интеллект на машине нельзя, Пенроуз предлагает физический механизм, на котором, возможно, основаны наши интеллект и сознание - а может быть, и то неуловимое, что мы называем личностью человека. "Физическая личность"?..
Микродайджест
(для тех, кого не интересуют подробности)
Основные результаты и гипотезы Пенроуза и его коллег по этому отчаянному предприятию суммированы в книге "Тени разума" (1) и в нескольких статьях. Их можно разделить на "отрицательную программу" и "положительную программу".
Отрицательная программа сводится к математической аргументации (на основе теоремы Геделя) против возможности алгоритмически смоделировать разум. (некоторые возражение - в К проблеме вычислимости функции сознания) Понятием "разум" можно хоть как-то оперировать в формальных терминах, если иметь в виду математическое творчество - теоремы, вычисления, алгоритмы. Поэтому появляется возможность использовать достаточно четкие аргументы - а они-то как раз и подтверждают, что даже в математике самое существенное - то, что не формализуемо! Тем меньше остается надежд, что можно смоделировать другие свойства разума.
Положительная программа, строго говоря, есть всего лишь обсуждение комплекта согласованных друг с другом гипотез. Одна их часть относится к физике, другая - к нейрофизиологии, а в итоге получается вот что. Существенную роль в таком неотъемлемом свойстве разума, как сознание, играет некий "квантовый процесс" в так называемых микротрубочках нейронов мозга. Этот процесс влияет на сигналы, которыми обмениваются нейроны, внося принципиально важный ингредиент: невычислимость (а без нее не обойтись, если мы согласны с выводами отрицательной программы). В рамках существующей квантовой теории описать этот процесс невозможно (так как в ней все вычислимо, пусть даже и в вероятностном смысле). Можно сделать лишь некоторые количественные оценки, но до сколько-нибудь полной теории таких явлений еще далеко. Более того, Пенроуз считает, что создание этой теории должно быть связано с таким же радикальным, концептуальным пересмотром основ физики, какого в свое время потребовало создание общей теории относительности. По поводу реализуемости нужных квантовых процессов в клетках мозга тоже есть лишь косвенные данные. Однако работа продолжается очень активно, и к ней начинают подключаться экспериментаторы.
Мини-дайджест:
логика и математика
Пафос первой части книги заключается в том, чтобы на основе виртуозных математических и логических построений дать убедительные аргументы в пользу неалгоритмической работы сознания. Пенроуз выделяет четыре наиболее характерные точки зрения на вопрос о связи сознательного мышления и вычислений на компьютере.
