Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Авторы:

Жанры: Научпоп, Математика

Циклы: не входит в цикл

Формат: Полный

Всего в книге 41 страница. Год издания книги - 2015.

Георг Кантор первым среди ученых начал с математической точностью исследовать бесконечность, представлявшую философский интерес. Его новаторский подход к математике воплотился в теории множеств, он сформулировал противоречащие интуиции понятия разных видов бесконечного. До работ, которые были изданы ученым в конце XIX века и стали фундаментальным вкладом в науку, бесконечность, следуя восходившей к Аристотелю научной традиции, понималась как полезная условность. Смелость Кантора стоила ему дорого: его идеи были жестко отвергнуты многими современниками, что, вероятно, послужило причиной его душевной болезни и преждевременной кончины.

Прим. OCR: Из-за особенностей отображения иврита в выражениях алеф(X) заменен на X.

Читать онлайн Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.



Gustavo Ernesto Pineiro

Наука. Величайшие теории: выпуск 30: Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Пер. с итал. — М: Де Агостини, 2015. — 168 с.

ISSN 2409-0069

© Gustavo Ernesto Pineiro, 2012 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2012

© ООО «Де Агостини», 2014-2015

Еженедельное издание


Введение

Когда в звездную безлунную ночь вдали от городских огней мы любуемся восхитительным зрелищем, в глубине души рождается тревожное чувство: насколько же мала наша планета в сравнении с бесконечностью!

Бесконечность — не только сложное математическое понятие. Дуализм бесконечного — того, что буквально «не имеет конца», — и его противоположности, конечного — того, что рано или поздно заканчивается, — вероятно, сопровождал человечество с тех самых пор, когда первый Homo sapiens задумался, есть ли предел у неба, можно ли достичь горизонта, действительно ли заканчивается наша жизнь или каким-то образом непрерывно продолжается.

Но бесконечность также способна вызывать головокружение и, согласно древнегреческому философу Зенону Элейскому, парализовать всю Вселенную. В VI веке до н.э. Парменид Элейский — некоторые историки считают его отцом западной метафизики — постулировал существование бытия, главная характеристика которого сводится к тому, что оно существует. Бытие существует, оно есть.

Отталкиваясь от этого, Парменид заключил, что бытие вмещает в себя весь мир, ибо будь в нем некий участок, где его нет, это означало бы, что бытия в нем не существует. Это является терминологическим противоречием, то есть такое невозможно. Следовательно, бытие вмещает в себя всю Вселенную. Другими словами, вся она, включая нас, составляет бытие. Бытие неизменно, оно не может меняться. Предположим, что оно перешло из состояния А в состояние В. В таком случае оно перестало существовать в состоянии А, а это невозможно, потому что бытие не может прекратить свое существование. Следовательно, бытие и вся Вселенная неизменны. Это означает, что хотя, как нам кажется, мы наблюдаем изменения и движение, на самом деле их не существует. Даже времени не существует: у бытия нет ни прошлого, ни будущего — только настоящее.

Ученик Парменида Зенон выдвинул целый ряд заключений, парадоксов. Как и его учитель, он утверждал: изменений и движения не существует. То, что мы видим, — заблуждение, в которое нас вводят органы чувств, а разум и логика в состоянии это доказать.

Во всех парадоксах Зенона так или иначе присутствует понятие бесконечности. В одном из них утверждается, что если мы бросим камень в дерево, растущее в одном метре от нас, вопреки увиденному камень никогда не попадет в него, более того, он так и останется у нас в руке.

Зенон рассуждал следующим образом: чтобы долететь до дерева, камень должен преодолеть расстояние в полметра, а до этого — четверть метра, а еще раньше — восьмую часть метра, шестнадцатую и так далее. Чтобы угодить в дерево, камню придется совершить бесконечное число переходов. Но невозможно выполнить бесконечное количество движений за конечное время. Поэтому, заключает Зенон, камень никогда не коснется дерева. Эти же рассуждения справедливы и для миллиметрового масштаба, и для тысячной доли миллиметра. Действительно, получается, что камень никогда не отделится от нашей руки. Таким образом, по Зенону, бесконечное позволяет показать, что Вселенная неизменна.

В IV веке до н.э. Аристотель, заложивший основы систематического изучения логики и науки в целом, написал трактат «Физика». Среди прочих вопросов в нем исследовалось и движение тел. Но сначала Аристотелю предстояло доказать, что движение вообще существует в действительности, а значит, опровергнуть доводы Парменида и Зенона.

Если бытие не может не существовать, то как оно способно изменять свое состояние, переставать быть? Аристотель говорит, что оно есть, но иногда оно состоит в потенции, а иногда — в действии. Когда ребенок вырастает и оказывается взрослым, он не перестает быть ребенком, ребенок — это взрослый в потенции, который становится взрослым в действии. Ребенок изменился, но не прекратил существовать. Зерно — это растение в потенции, белый лист — текст в потенции и так далее. Несколько веков спустя Микеланджело Буонаротти высказал похожую мысль: в глыбе мрамора уже содержится скульптура, и нужно только отсечь все лишнее. Так Аристотель совместил представление Парменида о бытии с возможностью изменения.

После того как было доказано, что бытие способно изменяться, как можно опровергнуть аргументы Зенона? Во всех его парадоксах предполагается, что пространство и время бесконечно делимы. В примере с деревом между деревом и рукой имеется бесконечное количество переходов. Тогда Аристотель сказал, что бесконечности не существует. Точнее, она существует только в потенции и никогда — в действии. Идея бесконечности в потенции подразумевает, что некое количество может возрастать сколько угодно, но все равно в итоге будет конечным, идея бесконечности в действии — что это количество на самом деле бесконечно. Это различие очень важное, и мы еще к нему вернемся. По Аристотелю, можно допустить наличие количества, которое возрастает неопределенным образом, но всегда будет конечным, однако нельзя принять идею действительно бесконечного количества. Допустимо разделить расстояние между рукой и деревом на десять, сто, тысячу частей или на любое конечное количество каких угодно единиц измерения, но нельзя утверждать, что оно делится на действительно бесконечное количество фрагментов.


С этой книгой читают
Популярно о микробиологии

В занимательной и доступной форме автор вводит читателя в удивительный мир микробиологии. Вы узнаете об истории открытия микроорганизмов и их жизнедеятельности. О том, что известно современной науке о морфологии, методах обнаружения, культивирования и хранения микробов, об их роли в поддержании жизни на нашей планете. О перспективах разработок новых технологий, применение которых может сыграть важную роль в решении многих глобальных проблем, стоящих перед человечеством.Книга предназначена широкому кругу читателей, всем, кто интересуется вопросами современной микробиологии и биотехнологии.


Меч и Грааль

Взыскание Святого Грааля, — именно так, красиво и архаично, называют неповторимое явление средневековой духовной культуры Европы, породившее шедевры рыцарских романов и поэм о многовековых поисках чудесной лучезарной чаши, в которую, по преданию, ангелы собрали кровь, истекшую из ран Христа во время крестных мук на Голгофе. В некоторых преданиях Грааль — это ниспавший с неба волшебный камень… Рыцари Грааля ещё в старых текстах именуются храмовниками, тамплиерами. История этого католического ордена, основанного во времена Крестовых походов и уничтоженного в начале XIV века, овеяна легендами.


Знание-сила, 2000 № 07 (877)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Жители планет

«Что такое на тех отдаленных светилах? Имеются ли достаточные основания предполагать, что и другие миры населены подобно нашему, и если жизнь есть на тех небесных землях, как на нашей подлунной, то похожа ли она на нашу жизнь? Одним словом, обитаемы ли другие миры, и, если обитаемы, жители их похожи ли на нас?».


Открытия и гипотезы, 2005 №11

Научно-популярный журнал «Открытия и гипотезы» представляет свежий взгляд на самые главные загадки вселенной и человечества, его проблемы и открытия. Никогда еще наука не была такой интересной. Представлены теоретические и практические материалы.


Легенда о Вавилоне

Петр Ильинский, уроженец С.-Петербурга, выпускник МГУ, много лет работал в Гарвардском университете, в настоящее время живет в Бостоне. Автор многочисленных научных статей, патентов, трех книг и нескольких десятков эссе на культурные, политические и исторические темы в печатной и интернет-прессе США, Европы и России. «Легенда о Вавилоне» — книга не только о более чем двухтысячелетней истории Вавилона и породившей его месопотамской цивилизации, но главным образом об отражении этой истории в библейских текстах и культурных образах, присущих как прошлому, так и настоящему.


Сожжение Просперо
Автор: Дэн Абнетт

Император в ярости. Примарх легиона Тысячи Сынов Магнус Красный совершил ужасную ошибку, поставившей под угрозу безопасность самой Терры. Не имея другого выбора, Император поручает Леману Руссу, примарху Космических Волков, заключить под стражу своего брата, который находится на Просперо — родном мире Тысячи Сынов. Захватить планету колдунов — задача не из легких, но Русс и его Космические Волки не отступятся от своей задачи. Пылающий гневом Русс собирается передать Магнуса в руки правосудия и разрушить Просперо до основания.


Дело рыцаря Тьмы

Мало помнить о чести и совести, даже находясь во Тьме. Ведь Владыка Тьмы, Цьяхимлетонг, рано или поздно потребует от своего слуги того, что идёт вразрез с человеческой моралью, совестью и любыми законами. Великому демону неинтересны человеческие ограничения. И значит, надо срочно избавляться. Либо от ограничений либо… от Цьяхимлетонга!


Заметка для издателя "Колокола"

Впервые опубликовано: "Русский вестник". 1862. Т. 39. N 6. С. 834–852.


Оптимизация функционирования ВР Украины

Верховная Рада в последние годы превратилась чуть ли не в главнейший дестабилизатор Украины. И народное терпение когда-нибудь прольётся через край. Сборище семейных кланов, криминальных группировок, представителей крупного капитала, клоунов и циркачей на публику — вот что собой представляет украинский парламент.


Другие книги автора
У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте

Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств.