Электродинамика
Авторы: Ричард Филлипс Фейнман
Жанр: Физика
Цикл: Фейнмановские лекции по физике №6
Формат: Фрагмент
Всего в книге 55 страниц. У нас нет данных о годе издания книги.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность. Книга завершается финалом, связывающим воедино темы и сюжетные линии, исследуемые на протяжении всей истории. В целом, книга представляет собой увлекательное и наводящее на размышления чтение, которое исследует человеческий опыт уникальным и осмысленным образом.
Читать онлайн Электродинамика
Глава 15
ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
§ 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя
§ 2. Механическая и электрическая энергии
§ 3. Энергия постоянных токов
§ 4. В или А?
§ 5. Векторный потенциал и квантовая механика
§ 6. Что истинно в статике, но ложно в динамике?
§ 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя
В предыдущей главе мы изучали магнитное поле, создаваемое маленькой прямоугольной петлей, по которой течет ток. Мы нашли, что это поле диполя с дипольным моментом, равным
m= IA,(15.1)
где I — сила тока, a A — площадь петли. Момент направлен по нормали к плоскости петли, так что можно писать и так:
m=IАn,
где n — единичный вектор нормали к площади А.
Петли с током, или магнитные диполи, не только создают магнитные поля, но и сами подвергаются действию силы, попав в магнитное поле других токов. Рассмотрим сперва силы, действующие на прямоугольную петлю в однородном магнитном поле. Пусть ось z направлена по полю, а ось y лежит в плоскости петли, образующей с плоскостью xyугол q (фиг. 15.1). Тогда магнитный момент петли, будучи нормальным к ее плоскости, образует с магнитным полем тоже угол q.
Раз токи на противоположных сторонах петли текут в противоположные стороны, то и силы, действующие на них, тоже направлены врозь, а суммарная сила равна нулю (в однородном поле). Но благодаря силам, действующим на стороны, обозначенные на фиг. 15.1 цифрами 1 и 2, возникает вращательный момент, стремящийся вращать петлю вокруг оси у. Величина этих сил F>lи F>2 такова:
F>1=F>2=IBb.
Фиг. 15.1. Прямоугольная петля с током I в однородном поле В, направленном по оси z.
Действующий на нее вращательный момент равен t=mXB, где магнитный момент m=Iab.
Их плечо равно
так что вращательный момент
Вращательный момент может быть записан и векторно:
(15.2)
То, что вращательный момент дается уравнением (15.2), мы показали пока только для довольно частного случая. Но результат, как мы увидим, верен для маленьких петель любой формы. Полезно напомнить, что и для вращательного момента, действующего на электрический диполь, мы получили соотношение подобного же рода:
Сейчас нас интересует механическая энергия нашей петли, по которой течет ток. Раз есть момент вращения, то энергия, естественно, зависит от ориентации петли. Принцип виртуальной же работы утверждает, что момент вращения — это скорость изменения энергии с углом, так что можно написать
Подставляя t =+mBsinq и интегрируя, мы вправе принять за энергию выражение
(Знак минус стоит потому, что петля стремится развернуть свой момент по полю; энергия ниже всего тогда, когда m и В параллельны.)
По причинам, о которых мы поговорим позже, эта энергия не есть полная энергия петли с током. (Мы, к примеру, не учли энергии, идущей на поддержание тока в петле.) Поэтому мы будем называть ее U>мех, чтобы не забыть, что это лишь часть энергии. И, кроме того, постоянную интегрирования в (15.3) мы вправе принять равной нулю, все равно ведь какие-то другие виды энергии мы не учли. Так что мы перепишем уравнение так:
(15.4)
Опять получилось соответствие с электрическим диполем, где было
(15.5)
Только в (15.5) электрическая энергия — и вправду энергия, а U>мехв (15.4) — не настоящая энергия. Но все равно ее можно применять для расчета сил по принципу виртуальной работы. Надо только предполагать, что ток в петле (или по крайней мере магнитный момент m) остается неизменным при повороте.
Для нашей прямоугольной петли можно показать, что U>мех соответствует также работе, затрачиваемой на то, чтобы внести петлю в поле. Полная сила, действующая на петлю, равна нулю лишь в однородном поле, а в неоднородном все равно останутся какие-то силы, действующие на токовую петлю. Внося петлю в поле, мы вынуждены будем пронести ее через места, где поле неоднородно, и там будет затрачена работа. Будем считать для упрощения, что петлю вносят в поле так, что ее момент направлен вдоль поля. (А в конце, уже в поле, ее можно повернуть как надо.)
Вообразите, что мы хотим двигать петлю в направлении x, т. е. в ту область, где поле сильнее, и что петля ориентирована так, как показано на фиг. 15.2. Мы отправимся оттуда, где поле равно нулю, и будем интегрировать силу по расстоянию по мере того, как петля входит в поле.
Фиг. 15.2. Петлю проносят через поле В (поперек него) в направлении x.
Рассчитаем сначала работу переноса каждой стороны по отдельности, а затем все сложим (вместо того, чтобы складывать силы до интегрирования). Силы, действующие на стороны 3 и 4, направлены поперек движения, так что на эти стороны работа не тратится. Сила, действующая на сторону 2, направлена по xи равна 1bВ(x); чтобы узнать всю работу против действия магнитных сил, нужно проинтегрировать это выражение по xот некоторого значения х, где поле равно нулю, скажем, от х = -Ґ до теперешнего положения х>2:
(15.6)
Подобно этому, и работа против сил, действующих на сторону 1,равна
(15.7)
Чтобы вычислить каждый интеграл, надо знать, как В(х) зависит от х. Но ведь сторона 1при движении рамки расположена все время параллельно стороне 2на одном и том же расстоянии от нее, так что в ее интеграл входит почти вся работа, затраченная на перемещение стороны
